CENTRO UNIVESITARIO CULTURAL DEL SOCONUSCO

“FUNFAMENTOS DE PROBABILIDAD”

PRESENTA

· GICELA JAQUELINE GUTIERREZ MENDEZ

· ALEJANDRA NALLELY BERNABE ZACARIAS

· JORGE OLVERA CEJA

· MARIA ESTER

· DALILA MARBEY ROBLERO

ASESOR

ING. PEDRO DE JESUS GALINDO ESTRADA.

MOTOZINTLA DE MENDOZA, CHIAPAS

CONTENIDO

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD………………………………………..	2
CONSEPTOS
CONSEPTO DE PROBALIDAD………………………………………………...	2
REGLA DE LA PLACE…………………………………………………………..	3
PROPIEDAD DE PROBABILIDAD…………………………………………….	5
PROBABILIDAD CONDICIONADA……………………………………………	7
NDEPENDENCIA…………………………………………………………………	9
FURMULAS DE PROBABILIDAD TOTAL…………………………………….	12
FORMULA DE BAYES………………………………………………………….	12

FUNDAMENTES DE PROBABILIDAD

INTRODUCCION

CONCEPTO DE PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE

PROPIEDADES DE PROBABILIDAD.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

INDEPENDENCIA

FORMULAS DE PROBABILIDAD TOTAL.

FORMULA DE BAYES

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

Definición de probabilidad

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Experimento aleatorio: es aquel que al repetir en análogas condiciones, da resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado que se va obtener.

o simple) {1-1,1-2,…,6-6} .

Probabilidad de un suceso: regla de Laplace

Suceso seguro, suceso imposible y suceso contrario

Ejemplo

Propiedades de la probabilidad

Definición de Probabilidad: La probabilidad, en una experiencia aleatoria, es una aplicación que asigna un número real a cada suceso.

Para comprender las propiedades de la probabilidad, debemos establecer algunos conceptos previamente:
Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.
Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.

· Operaciones con sucesos:
Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos.
Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

· Tipos de sucesos:
Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).
Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).
Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A’).
Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.
Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.
Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.

Las características de la probabilidad son:

· La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero.

· La probabilidad del suceso seguro es uno.

· La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.

Y sus propiedades, deducidas a raíz de las características son:

· La probabilidad del suceso imposible es 0.

· La probabilidad de un suceso sumada a la de su contrario da 1.

· Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

· La probabilidad de un suceso es un número real menor o igual que 1.

· La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles dos a dos es la suma de sus probabilidades.

· La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

Propiedades de la probabilidad

DEMOSTRACIONES

1) p(A^c) = 1 - p(A)
A^c representa el suceso complementario de A, es decir el formado por todos los resultados que no están en A.

2) A₁ A₂  p(A₁) p(A₂)

3) p() = 0

4) p(A)  1

5) p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B) (Regla general de la adicción)

Ejemplo 2:

Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?

A = {obeso} B = {hipertenso}

A  B = {hipertenso y obeso}

A  B = {obeso o hipertenso}

p(A) = 0,10; p(B) = 0,15; p(A  B) = 0,03

p(A  B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

Donde:

P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B  A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

En el ejemplo que hemos visto:

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B  A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto:

P (B  A) = 1/6

P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

2º ejemplo:

En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori).

Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.

Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).

P (B  A) = 0,05

P (A) = 0,25

P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20

Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.

Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada a que haya salido un número impar.

La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.

INDEPENDENCIA

Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(B½A) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,

p(AÇB) = p(A)p(B½A) = p(A)p(B)

Luego,

p(AÇB) = p(A)p(B) Concepto de independencia

Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.

Ejemplos:

Pruebas repetidas e independientes.

Sea d el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces,

d = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAS, SAA, SSA, SSS}

Donde cada uno de los elementos de este espacio muestral está formado por tres pruebas repetidas e independientes que son los tres lanzamientos de la moneda, si deseamos determinar la probabilidad de cada uno de los elementos, nos encontraremos con lo siguiente;

p(AAA)=p(A₁ÇA₂ÇA₃)=p(A₁)p(A₂½A₁)p(A₃½A₁ÇA₂)=p(A)p(A)p(A) =1/2*1/2*1/2=1/8

p(AAS) = p(A)p(A)p(S) =1/2*1/2*1/2 =1/8

p(ASA) = p(A)p(S)p(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8

etc, etc.

Con lo anterior se comprueba que efectivamente la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral descrito anteriormente es de 1/8 como se consideraba cuando se calculaban probabilidades para un espacio finito equiprobable.

Ejemplos:

1. 1.      Un equipo de fútbol soccer tiene una probabilidad de ganar de 0.6, una probabilidad de empatar de 0.3 y una

2. probabilidad de perder de 0.1, si este equipo participa en dos juegos la semana próxima, determine la probabilidad de que; a. Gane el segundo juego, b. Gane ambos juegos, c. Gane uno de los juegos, d. Gane el primer juego y empate el segundo.

0.6G

0.6 G 0.3 E

0.1 P

0.3 E 0.6 G

0.3 E

0.1 0.1 P

P

0.6G

0.3 E

0.1 P

El espacio muestral sería:

d = {GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP}

Por lo que:

1. a.       p(gane el segundo juego) = p(GG, EG, PG) = (0.6)(0.6) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6) =

= 0.36 + 0.18 + 0.06 = 0.6

2. b.      p(gane ambos juegos) = p(GG) = (0.6)(0.6) = 0.36

3. c.       p(gane uno de los juegos) = p(GE, GP, EG, PG) = (0.6)(0.3) + (0.6)(0.1) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6)

= 0.18 + 0.06 + 0.18 + 0.06 = 0.48

4. d.      p(gane el primero y empate el segundo) = p(GE) = (0.6)(0.3) = 0.18

2.Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite, si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses, determine la probabilidad de que; a. Gane dos de las peleas, b. Si gana dos de las peleas, ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y tercera peleas?, c. Gane la segunda pelea.

0.8 G

0.8 G 0.2 P

8/10 = 0.8 G 0.2 P 0.8 G

0.2 P

0.2 P 0.8G

0.2 P

0.8 G

0.2 P 0.8 G

0.2 P

Del diagrama anterior obtenemos el siguiente espacio muestral;

d={GGG. GGP, GPG, GPP, PGG, PGP, PPG, PPP}

a. p(gane dos de las peleas) = p(GGP, GPG, PGG) = (0.8)(0.8)(0.2) + (0.8)(0.2)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128 + 0.128 + 0.128 = 0.384

b. E = evento de que gane dos peleas

E ={ GGP, GPG, PGG }, p(E) = 0.348

A = evento de que gane la primera y la tercer pelea

A={GGG, GPG}

AÇB = {GPG}, p(AÇB) = (0.8)(0.2)(0.8) =0.128

P(A½E) = p(AÇE) / p(E) = 0.348/0.128= 0.3333

c. p(gane la segunda pelea) = p(GGG, GGP, PGG, PGP) = (0.8)(0.8)(0.8) + (0.8)(0.8)(0.2) + (0.2)(0.8)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.2) = 0.512 + 0.128 + 0.128 + 0.032= 0.8

FORMULAS DE PROBABILIDAD TOTAL

Sea A1, B2…. Una partición del espacio muestral, supongamos que p(b1)>0 para ¡ >1. Entonces, para cualquier evento A.

P(A)= P(A B1)P(B1).

La aplicación de esta fórmula se basa en la apropiada escogencia de la partición, de manera que P(A B1) sea sencillo de calcular. Comúnmente esta fórmula simplifica engorrosos cálculos.

Ejemplo: se tiene dos cajas. La primera tiene b1 bolas blancas y r1 rojas. La segunda caja tiene b2 bolas blancas y r2 bolas rojas. Si se pasa una bola al azar de la primera caja a la segunda y luego se extrae una bola ala azar de la segunda caja. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola blanca de la segunda caja? Son comunes las situaciones en las que se tiene conocimiento preciso, o al menos información estadística, acerca de P(A B1) cuando en realidad se requiere conocer P(A B1). La siguiente es aún sencilla y poderosa formula, re quiere que relacionen ambas probabilidades.

FORMULA DE BAYES

Formula de bayes: sean A y B eventos con probabilidad no nula, entonces

P(B A)= P (A B) P(B)

P(A)

Ejemplo: de acuerdo al ejemplo anterior, ¿Cuál es la probabilidad de haber una bola roja de la primera caja a la segunda caja cuando la que extrajo de la segunda caja fue blanca?

Otra fórmula de mucha utilidad para el cálculo de la probabilidad, cuando se considera experimento que tiene carácter secuencial y que son modelados a través de arboles de decisión es la llamada formula de multiplicación.